Jakiś czas temu pisałem o pierwszym prawie Kirchhoffa, które mówi, że suma prądów wpływających do węzła jest równa sumie prądów z niego wypływających. Przyszedł czas na pochylenie się nad kolejnym ważnym zagadnieniem, czyli drugim prawem Kirchhoffa. Jak brzmi i na czym w ogóle polega drugie prawo Kirchhoffa? Co to jest SEM, czyli siła elektromotoryczna? Tego dowiesz się w dzisiejszym artykule. 😉
Pierwsze vs. drugie prawo Kirchhoffa
Pierwsze prawo Kirchhoffa mówi o tym jak rozpływają się prądy w obwodzie prądu stałego. Z tego powodu czasem można spotkać się z określeniem „prawo prądowe” czy też „prądowe prawo Kirchhoffa”. Jak już się pewnie domyślasz, drugie prawo Kirchhoffa określa się również mianem „prawa napięciowego”, albo „napięciowego prawa Kirchhoffa”. Jest to określenie jak najbardziej właściwe, co wynika z faktu, że mówi ono o „spadkach napięć” i „sile elektromotorycznej”, a więc zagadnieniach związanych z napięciem elektrycznym. Zresztą sam się zaraz o tym przekonasz.
Czym jest SEM?
SEM, czyli Siła ElektroMotoryczna, to pojęcie, z którym pewnie nie raz spotkasz się podczas zgłębiania arkanów elektronicznej sztuki. Siła elektromotoryczna nie jest „siłą” w rozumieniu czysto fizycznym (jak np. siła ciężkości, siła odśrodkowa czy siła wyporu). Określenie to wywodzi się z zamierzchłych czasów, a za jego autora uważa się włoskiego fizyka Alessandro Volta. Oznacza ono „siłę”, która jest powodem przepływu prądu w obwodzie. SEM wyraża się w woltach, podobnie jak napięcie elektryczne. Pojęcie to odnosi się zazwyczaj do źródła zasilania, np. baterii. Można powiedzieć, że SEM oznacza tak naprawdę (maksymalne) napięcie elektryczne występujące na zaciskach takiej baterii, gdy obwód jest otwarty (gdy do baterii nic nie jest podłączone).
Drugie prawo Kirchhoffa – o co właściwie chodzi?
Wyobraź sobie prosty obwód elektryczny. Na początek niech składa się po prostu z jakiegoś źródła napięcia (np. baterii 9V) i rezystora. Niczego więcej. Co się dzieje w takim układzie? Jak on pracuje? Pisałem już wcześniej (w artykule o napięciu elektrycznym), że…
„(…)umowny kierunek prądu elektrycznego to ten od bieguna dodatniego do bieguna ujemnego, od „plusa” do „minusa”(…)”
Bateria w naszym układzie również ma dwa bieguny. Dodatni i ujemny. Plus i minus. Prąd płynie zatem od bieguna dodatniego, przez rezystor i dalej do bieguna ujemnego. I tak w kółko. Pomijamy w tej chwili tzw. „opór wewnętrzny ogniwa”, nazywany również „rezystancją wewnętrzną źródła”, albo po prostu „rezystancją wewnętrzną”. Tym zajmiemy się innym razem.
Wróćmy jednak do sedna. Zakładamy, że napięcie na zaciskach baterii wynosi 9V. Podłączamy rezystor. Nieistotne w tej chwili jaka jest wartość jego rezystancji. Ile wynosi zatem spadek napięcia na tym rezystorze? Tak, jak napisałem – nieistotna jest jego wartość, rezystor jest jeden, pomijamy opór wewnętrzny ogniwa. Dam Ci chwilę na zastanowienie się… 😉
Już wiesz? 0V? 1V? 9V? 8.81V? 9.52V? A może 3.14159265359V? Ostatnia odpowiedź jest prawidłowa? Musisz mieć bardzo dokładny multimetr! 🙂 Prawidłowa odpowiedź to 9V. Całe napięcie niejako „odłoży się” na rezystorze. Warto zrobić w tym miejscu małą dygresję. Przyda nam się w tym miejscu wzór wynikający z prawa Ohma oraz zależność opisująca moc dla prądu stałego. Tak się składa, że pisałem o tym w artykule o prawie Ohma, więc jeśli czegoś nie pamiętasz to zachęcam do zajrzenia do niego.
Mała dygresja o prądzie i mocy…
Zakładamy taką „idealną” sytuację (w rzeczywistości byłoby trochę inaczej). Mamy baterię 9V i rezystor. Gdy podłączymy rezystor wystąpi na nim spadek napięcia równy właśnie 9V (równy napięciu baterii). Jaki prąd popłynie przez rezystor? A no właśnie. W tym wypadku zakładamy, że spadek napięcia wynosi 9V i nie zależy od wartości rezystancji. Ale wartość natężenia prądu będzie już od niej zależeć. No a z tym wiąże się także moc, ciepło jakie wydzieli się na rezystorze.
Mamy kilka rezystorów: 10Ω/5W, 300Ω/0.25W, 1MΩ/0.25W, 0.22Ω/1W. Sprawdźmy najpierw jaki prąd popłynie przez każdy z nich. Jak to policzyć? Przypomnę wzór – zależność pomiędzy napięciem i prądem na znanej rezystancji.
$\rm{\frac{U}{I}=R}$
Chcemy policzyć wartość prądu, więc musimy nieco przekształcić tę zależność.
$\rm{I=\frac{U}{R}}$
Teraz jest idealnie 😀
- dla rezystora o wartości 10Ω: $\rm{I=\frac{9V}{10Ω}=0.9A=900mA}$
- dla rezystora o wartości 300Ω: $\rm{I=\frac{9V}{300Ω}=0.03A=30mA}$
- dla rezystora o wartości 1MΩ: $\rm{I=\frac{9V}{1MΩ}=0.000009A=0.009mA}$
- dla rezystora o wartości 0.22Ω: $\rm{I=\frac{9V}{0.22Ω}\approx40.9A}$
Jak widać przy dużych wartościach rezystancji, rzędu megaomów, czyli milionów omów, w układzie będzie płynął mały prąd. Ba! Bardzo mały, bo rzędu mikroamperów. Z kolei przy małych wartościach rezystancji płynie duży prąd. Raczej ciężko będzie nam uzyskać prąd o wartości ok. 40A z małej baterii 9V, ale to tylko przykład. No właśnie 40.9A to sporo. Jeśli nawet udałoby się uzyskać tak dużą wydajność prądową, to jaki rezystor byłby nam potrzebny? Nie pozostaje mi nic innego jak przypomnieć Ci wzór na moc w obwodzie prądu stałego.
$\rm{P=UI}$
Moc w tym wypadku to po prostu iloczyn dwóch wartości: napięcia i prądu. Jak sytuacja wygląda w przypadku naszych rezystorów?
- dla rezystora o wartości 10Ω/5W: $\rm{P=9V\cdot0.9A=8.1W}$
- dla rezystora o wartości 300Ω/0.25W: $\rm{P=9V\cdot0.03A=0.27W}$
- dla rezystora o wartości 1MΩ/0.25W: $\rm{P=9V\cdot9µA=81µW}$
- dla rezystora o wartości 0.22Ω/1W: $\rm{P=9V\cdot40.9A=368.1W}$
Jak widać im większy prąd (im mniejsza rezystancja) tym większa moc, czyli ciepło. Możliwe, że pamiętasz tę zależność. Zauważ, że tylko w przypadku rezystora o wartości 1MΩ nie została przekroczona jego moc znamionowa. W przypadku rezystora 0.22Ω moc została przekroczona prawie czterysta razy. To nie wróży nic dobrego. Czy rezystor uległby uszkodzeniu? W teorii tak, natomiast w praktyce… Możliwe, że dosyć szybko spadłoby napięcie na zaciskach baterii (mówiąc potocznie „wyczerpałaby się”). Co innego jeśli korzystalibyśmy z zasilacza sieciowego dużej mocy…
Wróćmy jednak do tematu przewodniego tego artykułu, czyli drugiego prawa Ohma. Do tej pory mówiłem o jednym rezystorze. Jak będzie wyglądała sytuacja gdy podłączymy ich kilka? Albo kilkanaście? No właśnie 🙂
Drugie prawo Kirchhoffa – jedno źródło, wiele rezystorów
Teraz dołożymy kilka rezystorów. Załóżmy, że weźmiemy sobie trzy rezystory, które będą połączone szeregowo z baterią 9V. Tak, jak poniżej.
Niech to będą trzy rezystory o wartościach 0.22Ω/5W, 10Ω/5W i 51kΩ/0.25W. Zastanów się teraz nad tym, jak będą wyglądały prądy i napięcia w takim obwodzie? Ile będzie wynosiło natężenie prądu elektrycznego? Czy będzie różne w różnych miejscach? Ile będą wynosić spadki napięć na poszczególnych rezystorach? Przypominam, że mówimy o układzie z jednym źródłem siły elektromotorycznej (SEM), które stanowi bateria 9V oraz trzema rezystorami, które połączone są szeregowo.
Zaczniemy od tego, jaki prąd płynie w obwodzie. W każdym miejscu tego obwodu wartość natężenia prądu elektrycznego jest taka sama. Ile wynosi? Do odpowiedzi na to pytanie posłużą nam dwie zależności. Pierwsza jest związana z samymi rezystorami i ich rezystancją. Rezystory są połączone szeregowo i ich rezystancja zastępcza (wiesz, taka sytuacja, że zastępujesz te trzy rezystory jednym) jest sumą wartości wszystkich rezystorów, które są ze sobą w ten sposób połączone. W naszym przypadku są to zaledwie trzy rezystory. Rezystancję zastępczą oznaczymy sobie jako $\rm{R_{X}}$, natomiast rezystancje poszczególnych rezystorów jako $\rm{R_{1}}$, $\rm{R_{2}}$ i $\rm{R_{3}}$.
$\rm{R_{1}=0.22Ω}$
$\rm{R_{2}=10Ω}$
$\rm{R_{3}=51kΩ}$
Tak, jak wcześniej wspomniałem, rezystancja zastępcza rezystorów połączonych szeregowo jest po prostu sumą ich wartości, czyli…
$\rm{R_{X}=R_{1}+R_{2}+R_{3}}$
$\rm{R_{X}=0.22Ω+10Ω+51kΩ}$
$\rm{R_{X}=51010.22Ω}$
Znając wypadkową wartość rezystancji (rezystancję zastępczą) w naszym obwodzie możemy policzyć wartość prądu, jaki przez ten obwód płynie. Do tego posłuży nam druga zależność, której już używaliśmy 🙂
$\rm{U=IR}$
My chcemy policzyć prąd, więc nieco przekształcimy wzór…
$\rm{I=\frac{U}{R}}$
Nie pozostaje nam nic innego, jak podstawić odpowiednie wartości. Napięcie baterii wynosi 9V, natomiast rezystancja wypadkowa równa jest 51010.22Ω.
$\rm{I=\frac{U}{R_{X}}}$
$\rm{I=\frac{9V}{51010.22Ω}}$
$\rm{I\approx176µA}$
Jak widać prąd jest stosunkowo mały – wynosi zaledwie ok. 176 mikroamperów. Wszystko zależy też od zaokrągleń jakich użyliśmy, od dokładności obliczeń. Ktoś mógłby przecież uznać, że jest to ok. 200 mikroamperów. To taka mała dygresja.
Teraz kolejny krok. Odpowiedź na pytanie, jak wyglądają spadki napięć w takim układzie? Czy na każdym rezystorze spadek napięcia jest ten sam? Jeśli tak to ile wynosi? 9V? A może po 3V? A może spadki napięć są różne? Jeśli są różne to od czego zależą? Zastanów się nad tym. Odpowiedź znajdziesz poniżej.
Żeby odpowiedzieć na pytanie po prostu obliczymy spadki napięć na poszczególnych rezystorach. Znamy wartość prądu, jaki płynie w obwodzie, znamy też wartości poszczególnych rezystancji. Nie potrzebujemy nic więcej. Użyjemy znanego nam dobrze wzoru opisującego zależność pomiędzy rezystancją, napięciem elektrycznym i natężeniem prądu. W takiej postaci, jak poniżej.
$\rm{U=IR}$
Teraz wystarczy podstawić wartości…
- dla rezystora 0.22Ω: $\rm{U=176µA\cdot0.22Ω=38.72µV}$
- dla rezystora 10Ω: $\rm{U=176µA\cdot10Ω=1760µV}$
- dla rezystora 51kΩ: $\rm{U=176µA\cdot51kΩ=8.976V}$
Chyba znasz już odpowiedź na pytanie „jak wyglądają spadki napięć w tym obwodzie?”. 🙂 Spadki napięć są tutaj zależne od rezystancji. Im rezystancja większa, tym większy jest spadek napięcia. Nieco inaczej będzie w przypadku równoległego połączenia rezystorów. Tam w każdej gałęzi obwodu będzie taki sam spadek napięcia, ale różne wartości natężenia prądu elektrycznego. Jak się pewnie domyślasz wartość prądu będzie zależeć od rezystancji. Wróćmy jednak jeszcze na chwilę do naszego przykładu z połączeniem szeregowym…
Zauważ jeszcze jedną rzecz. Zsumujemy teraz obliczone spadki napięć. Oznaczę je odpowiednio $\rm{U_{1}}$, $\rm{U_{2}}$ i $\rm{U_{3}}$.
$\rm{U_{1}=38.72µV}$
$\rm{U_{2}=1760µV}$
$\rm{U_{3}=8.976V}$
$\rm{U=U_{1}+U_{2}+U_{3}}$
$\rm{U=38.72µV+1760µV+8.976V=8,97779872\approx9V}$
Nie otrzymaliśmy wyniku wynoszącego dokładnie 9V, bo już wcześniej użyłem pewnych zaokrągleń. Generalnie widać, że wszystko się zgadza i można powiedzieć, że całe napięcie jest „tracone” na rezystorach. Nie może istnieć taka sytuacja, że podłączamy baterię 9V, a na rezystorach tracimy w sumie 5V, z pozostałymi 4V dzieje się „nie wiadomo co”. Można powiedzieć, że „suma spadków napięć jest równa sumie sił elektromotorycznych”. Wrócę jeszcze do tej kwestii 🙂
Celowo ponownie podałem moce znamionowe rezystorów, przypomnę: 0.22Ω/5W, 10Ω/5W i 51kΩ/0.25W. Jakie ciepło – teoretycznie – wydzieli się na każdym z rezystorów? To pytanie pozostawiam otwarte, a dodatkowo polecam Ci zastanowić się w jaki sposób można wykorzystać ten fakt… No właśnie. Pomyśl w jaki sposób możesz wykorzystać to, że kilka rezystorów da się zastąpić jednym, ale również… Jeden rezystor możesz zastąpić kilkoma. Podpowiem, że chodzi tu o „rozkład mocy” na rezystorach. Tej ciekawostce poświęcę jeden z wpisów, tymczasem zapraszam do lektury artykułu o mocy w obwodach prądu stałego – powinien Ci pomóc w zrozumieniu tematu.
Drugie prawo Kirchhoffa – łączymy baterie, łączymy SEM
Do tej pory beztrosko łączyliśmy ze sobą rezystory. A co z bateriami? Czy można je łączyć? Oczywiście, że tak, ale i tu istnieją pewne zasady. Wspominam o tym tutaj, bo łączenie ze sobą baterii (co można rozumieć jako „łączenie sił elektromotorycznych”) jest wg mnie nierozłącznie związane z drugim prawem Kirchhoffa. Jest to jednak temat dosyć szeroki, więc żeby nie zaciemniać Ci w tej chwili obrazu, zajmę się nim w osobnym artykule (do którego link znajdzie się tutaj…).
Drugie prawo Kirchhoffa – właściwie o co tu chodzi?
Zróbmy sobie w tym momencie małe podsumowanie. Rozpatrywaliśmy proste układy, takie, które składają się z jednej SEM (baterii) oraz jednego lub kilku rezystorów. Jeśli mamy do czynienia z jednym rezystorem podłączonym do źródła zasilania, to całe napięcie (w praktyce prawie całe, bo jakąś – zazwyczaj minimalną, ale zawsze – rezystancję mają przewody) „odłoży się” na rezystorze. Innymi słowy – spadek napięcia na rezystorze będzie równy wartości napięcia zasilania. Podobnie będzie w przypadku kilku rezystorów połączonych szeregowo. Jak pewnie pamiętasz kilka rezystorów połączonych szeregowo można zastąpić jednym, którego wartość będzie sumą rezystancji (jeśli jednak nie pamiętasz, to zajrzyj do artykułu o połączeniu szeregowym rezystorów i nie tylko…). Po prostu suma spadków napięć na poszczególnych rezystorach będzie równa napięciu zasilania. Spadki napięć zależą w tym wypadku od rezystancji, z kolei natężenie prądu, jaki przepływa przez rezystory, jest takie samo w każdym miejscu obwodu. Poniższy szkic obrazuje to, co napisałem.
…co można rozumieć również w ten sposób…
Nieco inaczej – rzecz można „na odwrót” – będzie w przypadku połączenia równoległego. Mamy baterię i kilka rezystorów połączonych ze sobą równolegle. W tym wypadku mamy kilka „gałęzi obwodu”. Zakładamy sobie, że każda gałąź to jeden rezystor, jak na poniższej ilustracji.
Jak tutaj będą wyglądać spadki napięć i wartości prądów? Otóż w tym wypadku spadki napięć na każdej z gałęzi będą takie same, równe napięciu źródła zasilania. Z kolei prądy będą różne, zależnie od wartości rezystancji. Dlatego przed chwilą wspomniałem, ze będzie „na odwrót”.
A gdyby tak trochę namieszać? Kilka gałęzi, w każdej kilka rezystorów? Zastanów się jak będą wyglądać napięcia i prądy w takim szeregowo-równoległym (albo równoległo-szeregowym) połączeniu. Przyda Ci się znajomość pierwszego prawa Kirchhoffa, więc jeśli go nie znasz, to warto je sobie przypomnieć. Do tematu wrócę jeszcze w tym artykule (będzie przykład), a w tej chwili postaram się przybliżyć Ci definicję (taką „książkową”) drugiego prawa Kirchhoffa, które jest tematem przewodnim dzisiejszego artykułu.
Drugie prawo Kirchhoffa – definicja
Jak brzmi definicja drugiego prawa Kirchhoffa? Odpowiedź poniżej…
„Suma spadków napięć na oporach w zamkniętym obwodzie elektrycznym jest równa sumie sił elektromotorycznych, jakie występują w tym obwodzie”
Rozumiesz? Jeśli tak to świetnie, jeśli nie, to nie martw się, postaram się po kolei wszystko wytłumaczyć. Treść drugiego prawa Kirchhoffa można również sformułować nieco inaczej (i nieco krócej), mianowicie:
„Suma spadków napięcia w zamkniętym obwodzie elektrycznym równa jest zero”
Poniżej szkic jakiegoś obwodu elektrycznego, którym posłużę się przy wyjaśnieniach.
Dobra, mamy już chyba wszystko. To co, gotów? Zaczniemy od tej dłuższej definicji. Mówi ona o tym, że suma spadków napięć jest równa sumie sił elektromotorycznych. Chodzi tu o spadki napięć na oporach (można byłoby użyć terminu „rezystancjach”, ale tak chyba ładniej brzmi :)). Dodatkowo obwód jest zamknięty, nie ma w nim przerw. Prąd płynie sobie od plusa, przez rezystory, do minusa. Jak pewnie zauważyłeś na powyższej ilustracji występują takie „odnogi” obwodu. Chciałem w ten sposób zaznaczyć, że analizujemy sobie jakiś fragment większego, bardziej złożonego obwodu elektronicznego. Dziś skupię się głównie na aspektach związanych z drugim prawem Kirchhoffa, ale niedługo pojawi się wpis, w którym postaram się wyjaśnić Ci jak działa taki bardziej złożony obwód – do analizy przyda się I i II prawo Kirchhoffa.
Jeśli nie wiesz, co oznaczają poszczególne symbole, to pokrótce przypomnę. Duża litera E oznacza SEM, czyli tak naprawdę symbolizuje źródło napięcia (można byłoby jeszcze dodać mały rezystor i oznaczyć go przykładowo $\rm{R_{W}}$ wówczas mielibyśmy jeszcze uwzględnioną rezystancję wewnętrzną np. baterii, ale o tym innym razem). Symbol SEM to właśnie okrąg ze strzałką wewnątrz – strzałka określa kierunek przepływu prądu (od plusa do minusa). Duża litera I oznacza prąd, spadki napięć na rezystorach oznaczone są przy pomocy dużej litery U, same rezystory to z kolei duża litera R, rzecz jasna z odpowiednim indeksem.
Pewnie niektórzy z was zadają sobie pytanie „dlaczego strzałki nad rezystorami są skierowane przeciwnie do kierunku przepływu prądu?”. Już wyjaśniam. Strzałki te symbolizują spadki napięć. Jak pewnie pamiętasz (jeśli nie, to zajrzyj do artykułu o napięciu elektrycznym) napięcie elektryczne oznacza różnicę potencjałów, a więc inny potencjał będzie przed rezystorem, a inny za nim. Strzałka określa niejako kierunek tego spadku – gdzie potencjał jest wyższy, a gdzie niższy. Sama strzałka jest skierowana w stronę wyższego potencjału. Jeśli przyłożyłbyś tam woltomierz i zrobiłbyś to zgodnie z tym, co określa strzałka, tzn. „plusowy” przewód do wyższego potencjału, natomiast „minusowy” do niższego, to uzyskałbyś dodatni wynik – właściwą wartość spadku napięcia na rezystorze. Jeśli przewody podłączyłbyś odwrotnie, to uzyskałbyś ten sam wynik, ale „z minusem”.
Przejdziemy teraz do definicji i zobaczymy jak ją w praktyce „matematycznie” ugryźć (nie martw się, wystarczy Ci znajomość podstawowych działań: dodawania, odejmowania, mnożenia i dzielenia). Zaczniemy od fragmentu: „Suma spadków napięć na oporach w zamkniętym obwodzie elektrycznym(…)”. No to do dzieła.
Mamy pięć rezystorów (pięć oporów) zatem ta część równania będzie miała postać, jak poniżej.
$\rm{U_{1}+U_{2}+U_{3}+U_{4}+U_{5}}$
Mógłbym Ci powiedzieć w tym momencie, że „to wszystko” i przejść dalej, ale pokażę Ci małe, a jakże pożyteczne przekształcenie, które z pewnością przyda Ci się w przyszłości. Pamiętasz pewnie taki wzór…
$\rm{U=IR}$
Tak? To świetnie, możemy go użyć w naszym przykładzie. W obwodzie przedstawionym na szkicu prąd jest stały, a jego wartość taka sama w każdym miejscu obwodu. Sumę spadków napięć możemy więc zapisać w ten sposób…
$\rm{IR_{1}+IR_{2}+IR_{3}+IR_{4}+IR_{5}}$
…a jeśli prąd jest stały, jest stałą wartością, co widać w powyższym zapisie, to przecież możemy wyciągnąć go przed nawias…
$\rm{I(R_{1}+R_{2}+R_{3}+R_{4}+R_{5})}$
Od razu lepiej, a za chwilę przekonasz do czego taki zapis może się przydać. Weźmy jeszcze „na warsztat” drugą część naszej definicji brzmiącą: „(…)jest równa sumie sił elektromotorycznych, jakie występują w tym obwodzie”. Mamy jedną siłę elektromotoryczną (oznaczoną dużą literą E), więc od razu zapiszemy całe równanie, jakie wynika z treści drugiego prawa Kirchhoffa. Równanie poniżej.
$\rm{E=U_{1}+U_{2}+U_{3}+U_{4}+U_{5}}$
A zgodnie z tym, co przekazałem Ci wcześniej, można je zapisać również w ten sposób…
$\rm{E=I(R_{1}+R_{2}+R_{3}+R_{4}+R_{5})}$
Taka postać pozwala np. na łatwe określenie wartości prądu płynącego w obwodzie (względnie fragmencie większego obwodu, czyli w tzw. „oczku”). Znasz napięcie źródła zasilania, znasz również wartości rezystorów, ale żeby poznać wartość natężenia prądu elektrycznego płynącego przez obwód musiałbyś „wpiąć się” w układ (prąd mierzymy włączając się do obwodu – np. multimetrem – szeregowo), co może być problematyczne. Możesz też przekształcić równanie i skorzystać z niego w poniższej postaci.
$\rm{I=\frac{E}{R_{1}+R_{2}+R_{3}+R_{4}+R_{5}}}$
Proste? Jeśli wszystko rozumiesz, to świetnie, jeśli masz z czymś problem, to pisz w komentarzu pod artykułem. Mieliśmy jeszcze drugą definicję, która mówiła, że: „Suma spadków napięcia w zamkniętym obwodzie elektrycznym równa jest zero”. Jak to się ma do naszego szkicu? Mamy zapisaną sumę spadków napięcia…
$\rm{U_{1}+U_{2}+U_{3}+U_{4}+U_{5}}$
…i jest ona równa zero. Ale zaraz, dlaczego? No właśnie. Przypomnę co nam wyszło nieco wcześniej.
$\rm{E=U_{1}+U_{2}+U_{3}+U_{4}+U_{5}}$
Jeśli siła elektromotoryczna E jest równa sumie wszystkich spadków napięć, to jeśli odejmiemy od niej te wszystkie spadki…
$\rm{E-U_{1}-U_{2}-U_{3}-U_{4}-U_{5}=?}$
…to co uzyskamy? No właśnie zero.
$\rm{E-U_{1}-U_{2}-U_{3}-U_{4}-U_{5}=0}$
Można to jeszcze zapisać w ten sposób – jak widać odejmujemy sumę spadków napięć…
$\rm{E-(U_{1}+U_{2}+U_{3}+U_{4}+U_{5})=0}$
Podsumujmy teraz, do czego doszliśmy. Oczywiście nadal będziemy odnosić się do szkicu obwodu, który zamieszczam ponownie, żeby wszystko było „w jednym miejscu”.
Ok. Mieliśmy dwie definicje. Pierwsza z nich brzmiała…
„Suma spadków napięć na oporach w zamkniętym obwodzie elektrycznym jest równa sumie sił elektromotorycznych, jakie występują w tym obwodzie”
…a na jej podstawie zapisaliśmy sobie dwa równoważne równania.
$\color{blue}{\bf{E}}\color{green}{\bf{=}}\color{orange}{\bf{U_{1}+U_{2}+U_{3}+U_{4}+U_{5}}}$
$\color{blue}{\bf{E}}\color{green}{\bf{=}}\color{orange}{\bf{I(R_{1}+R_{2}+R_{3}+R_{4}+R_{5})}}$
Była też druga, krótsza formułka.
„Suma spadków napięć w zamkniętym obwodzie elektrycznym równa jest zero”
Na jej podstawie również zapisaliśmy jedno równanie, które dodatkowo przekształciliśmy.
$\bf{E-}\color{orange}{\bf{(U_{1}+U_{2}+U_{3}+U_{4}+U_{5})}}\color{green}{\bf{=}}\color{blue}{\bf{0}}$
To wszystko. Na koniec jeszcze mały przykład, dzięki któremu (mam nadzieję) wszystko stanie się jasne (o ile już nie jest 😉 ). Najpierw weźmiemy na warsztat połączenie szeregowe, a następnie równoległe.
Przykład na koniec
Żeby było ciekawiej będą trzy rezystory i trzy SEM, ale… SEM będą w różnych miejscach, a dodatkowo w różnych kierunkach, zresztą spójrz na poniższy szkic, to zrozumiesz w czym rzecz.
Zaokrąglona strzałka pokazuje, w którym kierunku rozpatrujemy obwód (akurat tak samo płynie prąd). Brakuje nam jeszcze wartości poszczególnych elementów. Dla przypomnienia: siły elektromotoryczne oznaczone będą literą E z odpowiednim indeksem, natomiast rezystory literą R z odpowiednim indeksem.
Rezystory:
$\rm{R_{1}=10k\Omega}$
$\rm{R_{2}=1M\Omega}$
$\rm{R_{3}=4.7\Omega}$
Siły elektromotoryczne:
$\rm{E_{1}=24V}$
$\rm{E_{2}=2V}$
$\rm{E_{3}=12V}$
Celowo nie podawałem mocy znamionowej poszczególnych rezystorów, żebyś nie zaprzątał sobie tym głowy w tej chwili. Chyba mamy już wszystko, możemy zaczynać.
Rozwiązanie:
Najpierw zapiszemy sobie jedną część równania – sumę sił elektromotorycznych. Mamy trzy SEM, zaczniemy od tej oznaczonej jako $\rm{E_{1}}$. Następnie idziemy zgodnie z kierunkiem określonym strzałką, czyli – swoją drogą – zgodnie z kierunkiem ruchu wskazówek zegara. Natrafiamy na kolejną SEM, oznaczona jest jako $\rm{E_{2}}$. Jest ona „ustawiona” zgodnie z kierunkiem w jakim rozpatrujemy obwód, więc zapiszemy ją z plusem. Inaczej będzie w przypadku kolejnej, czyli $\rm{E_{3}}$, która skierowana jest w drugą stronę, a więc to napięcie będziemy odejmować. Innymi słowy – zapiszemy ją z minusem. Co nam powstało? Część równania poniżej.
$\rm{E_{1}+E_{2}-E_{3}=…}$
Teraz zajmiemy się rezystorami i spadkami napięć na nich. Tu nie ma żadnej filozofii. Jest połączenie szeregowe, spadki napięć się sumują. Proste. Ta część równania będzie wyglądać w ten sposób.
$\rm{…=U_{1}+U_{2}+U_{3}}$
Jak wiesz można to również zapisać w inny sposób. W końcu mamy różne wartości rezystancji i spadków napięć, ale wartość prądu w całym obwodzie jest tam sama.
$\rm{…=IR_{1}+IR_{2}+IR_{3}}$
Powyższy zapis można jeszcze nieco uprościć, tzn. jeśli prąd jest ten sam, to można jego wartość wyciągnąć przed nawias.
$\rm{…=I(R_{1}+R_{2}+R_{3})}$
Wszystko! Możemy teraz zapisać całe równanie.
$\rm{E_{1}+E_{2}-E_{3}=I(R_{1}+R_{2}+R_{3})}$
Ewentualnie można jeszcze tak 🙂
$\rm{E_{1}+E_{2}-E_{3}=U_{1}+U_{2}+U_{3}}$
Czy to już naprawdę wszystko? Niezupełnie. Nie bez powodu podałem wcześniej wartości poszczególnych SEM oraz rezystorów. Możemy na tej podstawie policzyć kilka rzeczy:
– spadki napięć na poszczególnych rezystorach
– rezystancję zastępczą występujących w obwodzie rezystorów
– wyznaczyć wartość zastępczej SEM (tak, tak, takiej, którą zastąpimy wszystkie trzy)
– wartość prądu, jaki przepływa przez obwód
Do dzieła! Zaczniemy od wyznaczenia wartości zastępczych SEM oraz rezystancji. To będzie proste. Warto w tym miejscu przytoczyć jeszcze raz wartości poszczególnych elementów…
Rezystory:
$\rm{R_{1}=10k\Omega}$
$\rm{R_{2}=1M\Omega}$
$\rm{R_{3}=4.7\Omega}$
Siły elektromotoryczne:
$\rm{E_{1}=24V}$
$\rm{E_{2}=2V}$
$\rm{E_{3}=12V}$
Mamy połączenie szeregowe, więc wartości zastępcze będą po prostu sumami. Umówmy się, że rezystancję zastępczą oznaczymy jako $\rm{R_{X}}$, natomiast zastępczą SEM jako $\rm{E_{X}}$.
$\rm{R_{X}=R_{1}+R_{2}+R_{3}=10k\Omega+1M\Omega+4.7\Omega}$
$\rm{R_{X}=1 010 004.7\Omega}$
$\rm{E_{X}=E_{1}+E_{2}-E_{3}=24V+2V-12V}$
$\rm{E_{X}=14V}$
Ok. Nic nie stoi na przeszkodzie, by na tej podstawie obliczyć wartość prądu $\rm{I}$ występującego w obwodzie. Posłuży nam tu znana i lubiana zależność wynikająca z prawa Ohma.
$\rm{U=IR}$
Zaraz, ale my mamy SEM, która oznaczona jest jako E? Co teraz? Nie martw się, wszystko jest pod kontrolą. Najprościej mówiąc E potraktujemy jako U, obie te wartości wyrażamy w woltach, na dobrą sprawę moglibyśmy użyć od razu litery U, ale przyjęło się używać dużej litery E, gdy mówimy o SEM (chociażby dla rozróżnienia). Tak więc równie dobrze możemy zapisać to w ten sposób.
$\rm{E=IR}$
A jeszcze lepiej tak – wszystko się wtedy zgadza z naszym przykładem.
$\rm{E_{X}=IR_{X}}$
Chcemy policzyć prąd, więc przekształcimy powyższą zależność.
$\rm{I=\frac{E_{X}}{R_{X}}}$
Teraz wystarczy podstawić to, co policzyliśmy wcześniej, czyli…
$\rm{R_{X}=1 010 004.7\Omega}$
$\rm{E_{X}=14V}$
$\rm{I=\frac{14V}{1 010 004.7\Omega}\approx 13.86µA}$
Bardzo mały ten prąd… Mamy już wartości zastępcze SEM i rezystancji, znamy już również wartość prądu. Nie pozostało nam nic innego, jak policzyć spadki napięć na poszczególnych rezystorach. W sumie są trzy o wartościach:
$\rm{R_{1}=10k\Omega}$
$\rm{R_{2}=1M\Omega}$
$\rm{R_{3}=4.7\Omega}$
W jaki sposób obliczymy spadki napięć? Możliwe, że już wiesz. Wystarczy użyć wspomnianej wcześniej zależności (patrz: prawo Ohma), której nie będziemy musieli nawet przekształcać.
$\rm{U=IR}$
Znamy wartości rezystancji poszczególnych rezystorów, znamy też wartość prądu płynącego w obwodzie. Wystarczy tylko podstawić do wzoru. Kolejno będziemy mieli…
$\rm{U_{1}=IR_{1}=13.86µA\cdot 10k\Omega=138.6mV}$
$\rm{U_{2}=IR_{2}=13.86µA\cdot 1M\Omega=13.86V}$
$\rm{U_{3}=IR_{3}=13.86µA\cdot 4.7\Omega=65.142µV}$
To wszystko. Czegoś nie zrozumiałeś? Gdzieś popełniłem błąd? Jeśli masz jakiekolwiek wątpliwości, to nie zwlekaj i napisz o tym w komentarzu pod artykułem.
Pozostało nam jeszcze połączenie równoległe. Poniżej szkic układu, który sobie omówimy. Tutaj będziemy mieli tylko jedną SEM (jedno źródło napięcia) i trzy rezystory.
Załóżmy, że takie będą wartości poszczególnych elementów:
$\rm{E=50V}$
$\rm{R_{1}=3.6k\Omega}$
$\rm{R_{2}=18\Omega}$
$\rm{R_{3}=470k\Omega}$
Ok. Gdzie jest haczyk? Różnica polega na tym, że w tym wypadku różne będą wartości prądów, za to spadki napięć na poszczególnych rezystorach będą sobie równe. Będzie „na odwrót” porównując ten przypadek do przypadku szeregowego połączenia rezystorów i sił elektromotorycznych, który rozpatrywaliśmy przed chwilą.
Znamy wartość napięcia źródła zasilania (i siłą rzeczy spadki napięć na rezystorach), znamy też wartości poszczególnych rezystorów. Co możemy policzyć?
– wartości poszczególnych prądów
– wartość rezystancji zastępczej rezystorów połączonych równolegle
To jak to będzie z tymi prądami? Spójrz jeszcze raz na szkic…
Znasz wartość spadku napięcia na rezystorze i wartość rezystancji samego rezystora. Mówi Ci to coś? Przypomnę taką zależność…
$\rm{U=IR}$
Chcemy policzyć prąd, więc sobie ją przekształcimy…
$\rm{I=\frac{U}{R}}$
Voilà 😀 Teraz wystarczy podstawić wartości i policzyć poszczególne prądy. Ile będzie wynosiła wartość spadku napięcia? Odpowiem pytaniem na pytanie – a ile wynosiła wartość SEM? I co widnieje u góry szkicu? Podsumowując…
$\rm{E=U=50V}$
$\rm{R_{1}=3.6k\Omega}$
$\rm{R_{2}=18\Omega}$
$\rm{R_{3}=470k\Omega}$
Teraz podstawimy i policzymy, co trzeba…
$\rm{I_{1}=\frac{U}{R_{1}}=\frac{50V}{3.6k\Omega}\approx 14mA}$
$\rm{I_{2}=\frac{U}{R_{2}}=\frac{50V}{18\Omega}\approx 2.78A }$
$\rm{I_{3}=\frac{U}{R_{3}}=\frac{50V}{470k\Omega}\approx 0.1mA}$
Miej na uwadze, że wartości są przybliżone, Tobie mogły wyjść nieco inne. Ok. Warto byłoby jeszcze sprawdzić ile wynosi wartość prądu $\rm{I}$. A może najpierw policzymy wartość rezystancji zastępczej? Pamiętasz, jak to się liczyło?
$\rm{\frac{1}{R_{X}}=\frac{1}{R_{1}}+\frac{1}{R_{2}}+\frac{1}{R_{3}}}$
Wystarczy przekształcić, albo od razu podstawić wartości. Jak wolisz. Ja zrobię to w ten sposób…
$\rm{\frac{1}{R_{X}}=\frac{1}{3.6k\Omega}+\frac{1}{18\Omega}+\frac{1}{470k\Omega}}$
…albo i nie 🙂 Pokażę Ci małą sztuczką, a tak naprawdę inną możliwość, inny sposób na obliczenie rezystancji zastępczej. Czy prostszy? Na pewno nieco inny, ale wynikający z powyższego wzoru. O właśnie tego…
$\rm{\frac{1}{R_{X}}=\frac{1}{R_{1}}+\frac{1}{R_{2}}+\frac{1}{R_{3}}}$
Nieco wcześniej obliczyliśmy wartości prądów. Znamy też wartości spadków napięć (w sumie to jest jedna i ta sama wartość spadku napięcia na każdym z rezystorów). Możemy więc dodatkowo skorzystać z zależności…
$\rm{U=IR}$
…którą przekształcimy…
$\rm{R=\frac{U}{I}}$
…a następnie podstawimy…
$\rm{\frac{1}{R_{X}}=\frac{I_{1}}{U}+\frac{I_{2}}{U}+\frac{I_{3}}{U}}$
Jak widać możemy jeszcze wyciągnąć wartość spadku napięcia $\rm{U}$ przed nawias.
$\rm{\frac{1}{R_{X}}=\frac{1}{U}(I_{1}+I_{2}+I_{3})}$
Żeby wszystko było jasne…
$\rm{R_{X}=\frac{U}{I_{1}+I_{2}+I_{3}}}$
Teraz wystarczy podstawić wartości.
$\rm{R_{X}=\frac{50V}{14mA+2.78A+0.1mA}}$
$\rm{R_{X}=\frac{50V}{2.7941A}}$
$\rm{R_{X}\approx 17.89\Omega}$
Ufff… Chcieliśmy jeszcze policzyć wartość prądu. Jak to zrobić? A nie rzuciło Ci się coś w oczy przed chwileczką? Spójrz na to…
$\rm{R_{X}=\frac{U}{I_{1}+I_{2}+I_{3}}}$
Co jest w mianowniku (przez co dzielimy)? Suma prądów. A co się stanie jeśli zastąpimy trzy rezystory jednym? Będziemy mieli tylko źródło napięcia i rezystor. Jaki prąd będzie płynął przez ten rezystor? No właśnie prąd $\rm{I}$, który będzie sumą prądów $\rm{I_{1}}$, $\rm{I_{2}}$ oraz $\rm{I_{3}}$. No, a przy okazji, przecież ten prąd przed chwilą obliczyliśmy, wyniósł on 2.7941 A. Rozumiesz? Prąd $\rm{I}$ jest tutaj sumą prądów płynących we wszystkich gałęziach obwodu. Tak właśnie jest w połączeniu równoległym. Ufff… To już wszystko 🙂
Podsumowanie
Było tego trochę, nieprawdaż? Powiedzieliśmy sobie o drugim prawie Kirchhoffa, wspomniałem też o paru innych kwestiach, m.in. o połączeniu szeregowym i równoległym. Mam nadzieję, że zrozumiałeś, jeśli nie wszystko, to przynajmniej część wiedzy, jaką chciałem Ci przekazać w tym artykule. Jeśli w którymś miejscu się pomyliłem, masz jakiekolwiek uwagi, sugestie, albo po prostu artykuł Ci się podobał – napisz o tym w komentarzu pod nim. Mam też prośbę – jak pewnie zauważyłeś – w tym artykule posłużyłem się szkicami. Czy odpowiada Ci ta forma ilustrowania wpisu, jeśli chodzi o schematy? Czy może jednak wolisz schematy narysowane w programie? Wyraź swoją opinię w komentarzu. Kolejny artykuł już wkrótce.
Zachęcam również do polubienia profilu elektroniczny.eu na facebooku 🙂